سرفصل های درس محاسبات عددی پیشرفته

نام بسته درسی : محاسبات عددی پیشرفته

——————————————————————–

فهرست:

فصل اول:مروری بر پیش نیازها
مروری بر حسابان
نماد O ی بزرگ
نماد o ی کوچک
نمایش کامپیوتری اعداد
برگرداندن اعداد از سیستم اعشاری به دو دویی
خطا در روش‌های عددی
پایداری و حساسیت
فصل دوم: درونیابی و تقریب توابع
درونیابی خطی
درونیابی چند جمله‌ای
خطا در چند جمله‌ای درونیاب لاگرانژ
تفاضلات تقسیم شده و چند جمله‌ای درونیاب نیوتن
تفاضلات متناهی
چند جمله‌ای درونیاب پیشروی نیوتن
درونیابی با اسپلاین‌ها
اسپلاین طبیعی در حالت خاص
برازش داده‌ها با چند جمله‌ای
تقریب توابع
فصل سوم:معادلات غیر خطی
روش دو بخشی
فرایند – ایتکن
روش استفنسن
فرمول خطای روش نیوتن
حل معادلات چند جمله‌ای با روش نیوتن – رافسون
الگوریتم هُرنر
روش وتری
فصل چهارم:مشتق گیری و انتگرال گیری عددی
مشتق‌گیری عددی
تحلیل خطا در مشتق‌گیری عددی
برونیابی ریچاردسون
انتگرال‌گیری عددی
دستور نقطه‌ی میانی
انتگرال‌گیری با روش رامبرگ
انتگرال‌گیر ی‌ با روش گاوس
فصل پنجم: حل عددی معادلات دیفرانسیل
روش‌های گام‌به گام
روش اویلر
روش‌های رانِگ – کوتا
روش‌های چندگامی
روش‌های ضمنی
فصل ششم:دستگاه های معادلات خطی

مقدمه

روش‌های حل دستگاه‌های خطی

محورگیری

محاسبه‌ی تعداد اعمال حسابی در روش حذفی گاوس

دستگاه‌های سه قطری

تجزیه‌ی یک ماتریس

خطا در روش حذفی گاوس

روش‌های تکراری

محاسبه‌ی مقادیر ویژه و بر دارهای ویژه با روش‌های تکراری

بخش هایی از بسته درسی محاسبات عددی پیشرفته

مروری بر حسابان

قضیه‌های تیلور: فرض کنید و مشتق‌های آن تا مرتبه‌ی بر بازه‌ی پیوسته باشند و آنگاه برای هر عددی مانند بین و وجود دارد به طوری‌که

قضیه‌ی مقدار میانی برای توابع پیوسته فرض کنید. تابع بر بازه‌ی پیوسته و عددی باشد به طوری که آنگاه عددی مانند وجود دارد به طوری که .

در حالت خاص از این قضیه نتیجه می‌شود که اگر آنگاه به ازای ای که داریم .

قضیه‌ی رُل:‌ اگر تابع بر بازه‌ی پیوسته و بربازه‌ی مشتق‌پذیر باشد، و آنگاه عددی مانند وجود دارد به طوری که

قضیه‌ی رُل تعمیم یافته فرض کنید تابع بر بازه‌ی پیوسته و در بازه‌ی بار مشتق‌پذیر باشد. اگر در نقطه‌ی متمایز، ، ….و در صفر شود، آنگاه عددی مانند وجود دارد که

قضیه‌ی مقدار متوسط : اگر تابع بر بازه‌ی مشتق‌پذیر باشد، آنگاه عددی مانند وجود دارد، به‌طوری که:

نقاط و یا در نقاط انتهایی بازه هستند، یا درصورتی که بر بازه‌ی مشتق‌پذیر باشد، جایی هستند که

قضیه‌ی مقدار متوسط وزن‌دار: اگر و بر پیوسته و در این بازه تغییر علامت ندهد، آنگاه وجود دارد ای در بازه‌ی به طوری که:

نماد Oی بزرگ

در ریاضی از نماد O برای توصیف رفتار یک تابع برای متغیرهای خیلی کوچک یا خیلی بزرگ بر حسب توابع ساده‌تر استفاده می‌شود.

تعریف یک: فرض کنید و دو تابع باشند که برای های به قدر کافی بزرگ تعریف شده‌اند. می‌گوییم وقتی ،‌ از مرتبه‌ی است، یا ،‌Oی بزرگ است و می‌نویسیم