سرفصل های درس آنالیز حقیقی

نام بسته درسی : درس آنالیز حقیقی

————————————

فهرست:

فصل اول : نظریه مجموعه‌ها                                                                                                                         

تابع‌ها

اشتراک هر دسته دلخواه e

اصل ماکسیمال هاسدورف                                                                                                                           

خوش ترتیبی و عددهای ترتیبی شمارش‌پذیر

فصل دوم :دستگاه عددهای حقیقی                                                                                                              

اصل‌های موضوع برای عددهای حقیقی

عددهای طبیعی و عددهای گویا

عددهای حقیقی گسترش‌یافته                                                                                                                     

دنباله‌های عددهای حقیقی

مجموعه‌های باز و بسته عددهای حقیقی                                                                                                         

تابع‌های پیوسته                                                                                                                                        

مجموعه‌های برل                                                                                                                                      

فصل سوم : اندازه لبگ

اندازه بیرونی

یک مجموعه اندازه‌ناپذیر                                                                                                                             

فصل چهارم : انتگرال لبگ                                                                                                                         

انتگرال ریمن                                                                                                                                          

انتگرال لبگ یک تابع کران‌دار روی مجموعه‌ای با اندازه باپایان                                                                               

انتگرال یک تابع نامنفی                                                                                                                               

انتگرال عمومی لبگ                                                                                                                                  

همگرایی در اندازه                                                                                                                                     

فصل پنجم : مشتق‌گیری و انتگرال‌گیری                                                                                                       

مشتق‌گیری از تابع‌های یکنوا                                                                                                                       

تابع‌های با تغییر کراندار                                                                                                                              

پیوستگی مطلق                                                                                                                                       

تابع‌های کوژ                                                                                                                                            

فصل ششم : فضاهای کلاسیک باناخ                                                                                                             

فضاهای L^p                                                                                                                                              

همگرایی و کمال                                                                                                                                       

فونکسیونل‌های خطی کراندار روی فضاهای L^p                                                                                                  

فصل هفتم : فضاهای متریک و توپولوژیک                                                                                                       

فضاهای متریک                                                                                                                                       

شبکه متریک                                                                                                                                           

همگرایی و کمال

پیوستگی یکنواخت و یکنواختی

فضاهای توپولوژیک                                                                                                                                    

پایه‌ها و شمارش‌پذیری                                                                                                                              

اصل‌های موضوع جداسازی و توابع حقیقی پیوسته                                                                                             

فضاهای حاصلضرب                                                                                                                                    

همبندی                                                                                                                                                

فصل هشتم : فضاهای فشرده                                                                                                                     

خاصیت‌های اساسی                                                                                                                                   

فشردگی شمارش‌پذیر و خاصیت                                                                                                                   

فضاهای متریک فشرده                                                                                                                               

حاصلضرب فضاهای فشرده                                                                                                                          

فشرده‌سازی استون ـ چک                                                                                                                           

قضیه استون ـ وایرشتراس                                                                                                                           

قضیه آسکولی                                                                                                                                          

فصل نهم : فضاهای باناخ                                                                                                                          

عملگرهای خطی                                                                                                                                    

فونکسونل‌های خطی و قضیه هان ـ باناخ                                                                                                        

قضیه نگار بسته                                                                                                                                     

فضاهای برداری توپولوژیک                                                                                                                         

توپولوژی‌های کم توان                                                                                                                             

کوژی                                                                                                                                                  

فضای هیلبرت                                                                                                                                        

فصل دهم : اندازه و انتگرال‌گیری                                                                                                               

فضاهای اندازه                                                                                                                                        

تابع‌های اندازه‌پذیر                                                                                                                                  

انتگرال‌گیری                                                                                                                                          

قضیه‌های همگرایی عمومی                                                                                                                       

اندازه‌های علامت‌دار                                                                                                                                

قضیه رادن ـ نیکودیم                                                                                                                               

فصل یازدهم : اندازه و اندازه بیرونی                                                                                                           

قضیه گسترش                                                                                                                                       

انتگرال لبگ ـ استیلتیس                                                                                                                           

اندازه درونی                                                                                                                                          

گسترش با مجموعه‌های صفر اندازه                                                                                                               

اندازه بیرونی کاراتئودوری                                                                                                                         

فصل دوازدهم : انتگرال دانیل                                                                                                                  

قضیه گسترش                                                                                                                                        

یکتایی                                                                                                                                                

اندازه‌پذیری و اندازه                                                                                                                                 

اندازه و توپولوژی                                                                                                                                    

فونکسیونل خطی کراندار روی C(X)                                                                                                             

گسترش برل یک اندازه                                                                                                                            

نگاشت‌های فضاهای اندازه                                                                                                                         

جبرهای اندازه                                                                                                                                        

نگاشت‌های مجموعه و نگاشت‌های نقطه                                                                                                        

ایزومتری‌های L^p                                                                                                                                     

منابع و مآخذ

برای دریافت نسخه کامل این بسته درسی به 

شماره 09306406058 پیام دهید.

 بخش هایی از بسته درسی آنالیز حقیقی

مقدمه

در این کتاب مفاهیمی نظیر مجموعه عددهای طبیعی، مجموعه عددهای گویا و غیره را بیان می‌کنیم.

عددهای طبیعی (عددهای درست و مثبت) در این بخش چنان نقش عمده‌ای دارند که این مجموعه را نماد خاص N نشان خواهیم داد. همچنین اصل‌های استقراء ریاضی و خوش ترتیبی را به اختصار بیان می‌کنیم. اصل استقراء ریاضی بیان می‌کند که اگر P(n) گزاره‌ای باشد که برای هر n متعلق به N تعریف شده است،

اصل خوش ترتیبی بیان می‌کند که هر زیرمجموعه ناتهی N دارای کوچکترین عنصر است.

مفاهیم اساسی نظریه مجموعه‌ها عبارتند از مجموعه و اندیشه عضوی از یک مجموعه بودن. عضوی از یک مجموعه بودن را با e, نشان می‌دهیم و عبارت «x عنصری (یا عضوی) از مجموعه A است» را به صورت می‌نویسیم. به طور مثال: اگر دو مجموعه A و B دارای این خاصیت باشند که است، اگر و تنها اگر  باشد، آنگاه A=B خواهد بود.

مجموعه‌ای را نیز که عنصری ندارد آنرا مجموعه تهی می‌نامند و با علامت f نشان داده می‌شود. اگر از این‌رو مجموعه تهی زیرمجموعه هر مجموعه دیگر است.

مجموعه‌ای را که تنها عنصرش x است با {x} تعریف می‌کنیم. مجموعه {x} مجموعه یکه یا مجموعه تک عنصری x نامیده می‌شود. باید توجه داشت که x و {x} کاملاً متمایزند. برای مثال همواره است در صورتی که به ندرت است.

در مجموعه {x,y} عنصر x هیچ امتیازی بر y ندارد، یعنی است. به این سبب {x,y} را یک جفت بی‌ترتیب می‌نامیم.

اگر X و Y دو مجموعه دلخواه باشند، حاصل‌ضرب مستقیم یا حاصل‌ضرب دکارتی X ´Y را با مجموعه {(x,y)}، یعنی مجموعه همه جفت‌های مربعی که عنصر نخست آنها به X و عنصر دوم آنها به Y تعلق دارند، تعریف می‌کنیم: به روش مشابه عبارت است از مجموعه ، یعنی همه سه‌تایی‌های مرتب به گونه‌ای که ، و  است.

تابع‌ها

منظور از یک تابع f از (یا بر) یک مجموعه X بر (یا در) یک مجموعه Y، قانونی است که به هر x متعلق به X یک عنصر یکتای f(x) متعلق به Y را نسبت می‌دهد.

برای نشان دادن این که f تابعی است از روی X در Y می‌نویسیم:

🟩 مجموعه X را دامنه (یا دامنه تعریف) تابع f می‌نامند. مجموعه مقادیری که با f گرفته می‌شود، یعنی مجموعه را برد f می‌گویند.

🟩 در حالت کلی برد یک تابع f کوچکتر از Y است. اگر برد f برابر Y باشد، آنگاه می‌گویند f یک تابع پوشا است.

🟩 اگر A زیرمجموعه‌ای از X باشد، نگار A به وسیله f را با مجموعه آن عنصرهای Y از y تعریف می‌کنیم که برای هر x متعلق به A برابری y = f(x) برقرار باشد.

🟩 نگار A به وسیله f را با f[A] نشان می‌دهیم، پس:

✔️ بنابراین برد f برابر f [X] است، و برای این که f تابعی پوشا از روی x به روی Y باشد لازم و کافی است که Y = f [X] باشد.

✔️ اگر B، زیرمجموعه‌ای از Y باشد، نگار وارون B را با  نشان می‌دهیم.                                

✔️ باید توجه داشت که برای این‌که f تابعی بر روی Y باشد لازم و کافی است که نگار وارون هر زیرمجموعه ناتهی از Y یک زیرمجموعه ناتهی باشد.

✔️ تابع را یک به یک (یا تک مقداری، یا انژکتیو) می‌گویند.

✔️ اگر و A زیرمجموعه‌ای از X باشد می‌توان تابع جدید را برای هر  با   تعریف کرد. این تابع جدید g را قید f به A نامیده و آن را گاهی با f|A نشان می‌دهیم. تمایز بین g و f دارای اهمیت است. دامنه‌های این دو تابع متفاوت است و نگارهای وارون به وسیله g با نگارهای وارون به وسیله f متفاوتند.

✔️ هر جفت مرتب تابعی است که دامنه آن مجموعه {1 , 2} است. همچنین هر دنباله پایاندار، یا هر n گانه، تابعی است که دامنه آن n عدد طبیعی نخست یعنی مجموعه است. (این مجموعه را یک‌پاره از N می‌نامند. یک دنباله بی‌پایان تابعی است که دامنه آن مجموعه عددهای طبیعی یعنی N است.

✔️ اغلب n گانه‌های مرتب را با و دنباله‌های بی‌پایان را با را این‌گونه نشان می‌دهیم.

✔️ اگر A و B دو زیرمجموعه X باشند، اشتراک آنها یعنی برابر است با مجموعه همه عنصرهایی که به هر دو مجموعه A و B تعلق دارند. یعنی:

🔍 اجتماع دو مجموعه A و B مجموعه عنصرهایی است که به A یا B تعلق دارند و آن را با نشان می‌دهیم.

🔍 همچنین رابطه‌هایی بین اجتماع و اشتراک وجود دارند که قانون‌های پخشی نامیده می‌شوند.

🔍 A∩( BC) = (A ∩ B) (A∩C)

🔍 A(B∩C ) = (AB) ∩ ( AC)

برای دریافت نسخه کامل این بسته درسی به 

شماره 09306406058 پیام دهید.

برای مشاوره اینجا بزنید