تاریخ بروزرسانی : 1402/06/10
————————-
فهرست:
فصل اول– مبانی و کاربردهای مقدماتی
ضرایب بسط دو جملهای و چند جملهای
تقریب استرلینگ
روش جملهی ماکزیمم
مجموعه و محاسبهی تعداد توزیع و احتمال یافتن سیستم در هر تراز
محاسبهی
خواص ماکروسکوپی
قانون توزیع بولتسمن
تابع تقسیم مولکولی
تابع تقسیم الکترونی گازهای ایدهآل تک اتمی
تابع تقسیم انتقالی گازهای ایدهآل تک اتمی
خواص ترمودینامیکی گاز ایدهآل تک اتمی
تابع تقسیم مولکولی گازهای ایدهآل دو اتمی
تابع تقسیم چرخشی
تابع تقسیم ارتعاشی
توابع ترمودینامیکی
محاسبهی ثابت تعادل
فصل دوم – سایر مجموعه ها و نظریه افت و خیز
مجموعهی گرند کانونیکال
تابع تقسیم گرندکونونیکال
تابع ترمودینامیکی مشخصهی مجموعهی میکروکانونیکال
نظریه افت و خیز
فصل سوم– اثرات کوانتومی: آمارهای فرمی-دایراک و بوزی-انیشتاین
آمار بولتسمن
آمارهای فرمی- دیراک و بوزی انیشتاین
گاز ایدهآل فرمی- دیراک با اثرات کوانتومی کوچک
گاز فرمی- دیراک ایدهآل با اثرات کوانتومی بزرگ
گاز ایدهآل بوزی- انیشتاین با اثرات کوانتومی کوچک
گاز ایدهآل بوزی- انیشتاین با اثرات کوانتومی بزرگ
فصل چهارم– ترمودینامیک آماری کلاسیکی:بررسی مولکول های چند اتمی
تابع تقسیم کلاسیکی
فضای فاز و معادله لیویل
اصل همبخشی انرژی
گاز ایدهآل چند اتمی
تابع تقسیم ارتعاشی
چرخش مانعدار
فصل پنجم– گازهای حقیقی:معادله ی حالت
معادلهی حالت ویریال
استخراج معادلهی حالت ویریال
حد کلاسیکی ضرایب ویریال
ضریب دوم ویریال
پتانسیل چاه مثلثی
پتانسیل ساترلند
پتانسل چاه ذوزنقهای
پتانسیل چاه مربعی همراه با پتانسیل ساترلند
پتانسیل لنارد- جونز
ضریب ویریال سوم
فصل ششم– بلورها
طیف ارتعاشی شبکهی تک اتمی
نظریهی انیشتاین در رابطه با بلورها
نظریه دبای در رابطه با جامدات
سهم ناهماهنگی در خواص بلور
معادلهی حالت جامدات تحت فشار
فونونها
نقایص شبکه
با نظمی- بینظمی
شبکهی یک بعدی
حل دقیق مدل دو بعدی آیزینگ
تقریب برگ ویلیام
تقریب کیکوچی
فصل هفتم– سیالات چگال
نظریهی لنارد- جونز- دونشر
کارآیی معادله حالت ویریال برای سیالات چگال
تابع توزیع شعاعی
نقش نیروهای جاذبه و دافعه در ساختار سیال متراکم
نظریهی اختلال برای مایعات
قاعدهبندی همدماهای خطی
مخلوطهای چگال
قواعد اختلاط
استفاده از قاعدهی همدماهای خطی در مخلوطها
تعمیم دادن قاعدهبندی همدمای خطی به زنجیرهای بلند
ضرایب بسط دو جملهای و چند جملهای
فرض کنید میخواهیم N شیء تمیزپذیر را طوری بر روی دو تراز مختلف توزیع کنیم که تعداد در تراز اول و تعداد در تراز دوم قرار گیرد. بدیهی است که است: برای سهولت ابتدا توزیع N تراز مختلف در نظر میگیریم، بهطوری که یک شیء در هر تراز قرار گیرد. اولین شیئ را میتوان بر روی هر یک از N تراز قرار داد، بهعبارت دیگر شیء اول N حق انتخاب دارد. چون یک تراز با شیء اول اشغال شده است، برای شیء دوم حق انتخاب دارد. بههمین ترتیب برای شیء سوم، چهارم، … و Nام بهترتیب ، ، …. و 1 حق انتخاب وجود دارد.
تعداد راه توزیع را میتوان بهصورت دیگری هم تفسیر کرد. توزیع 4 شیء A، B، C و D را بر روی چهار تراز در نظر بگیرید. در این شکل تنها یک توزیع مشخص نشان داده شده است.
D تراز چهارم
C تراز سوم
B تراز دوم
A تراز اول
هر توزیع را بهصورت کلی IJKL نمایش میدهیم، که I، J، K و L بهترتیب شیء واقع بر روی تراز اول، دوم، سوم، و چهارم را مشخص میسازد. بنابراین توزیع نشان داده شده در شکل 1-1 بهصورت ABCD است. با جابهجایی هر دو شیء در شکل 1-1 یک توزیع جدید بهدست میآید. بنابراین 23 توزیع دیگر از این قرار است:
ABDC, ACBD, ACDB, BACD, BADC, BCAD, BCDA, BDAC, BDCA, CABD, CADB, CBAD, CBDA, CDAB, CDBA, DACB, DBAC, DBCA, DCAB, DCBA, ADBC, ADCB
(توجه کنید که تعداد کل راههای توزیع برابر با است). بنابراین را میتوان بهصورت تعداد توزیعهایی در نظر گرفت که از جابهجایی N شیء به دست میآید.
اکنون حالت اول را بهصورت یک تراز و حالت بعدی را بهصورت تراز دیگری در نظر بگیرید. تا یک سیستم دو ترازی حاصل شود. قبلاً ملاحظه شد که میتوان برای توزیع N شیء نوع توزیع را در نظر گرفت. اما اگر شیء واقع در تراز اول را با هم جابهجا کنیم، توزیع جدیدی بهدست نمیآید و به طور مشابه از جابهجایی شیء واقع بر روی تراز دوم نیز توزیع جدیدی حاصل نمیشود. بنابراین دیگر تعداد راههای توزیع برابر نیست و میتوان نشان داد که باید را به (به خاطر شیء در تراز اول) و (به خاطر شیء در تراز دوم) تقسیم کنیم تا تعداد راههای توزیع به دست آید. بنابراین تعداد راههای توزیع، W، چنین است:
مجموعه و محاسبهی تعداد توزیع و احتمال یافتن سیستم در هر تراز
طبق درس ترمودینامیک آماری مجموعهای را معرفی میکنیم که به آن مجموعه کانونیکال گویند. فرض کنید سیستمی دارای حجم V و دمای T است که N مولکول دارد و میخواهیم خواص ماکروسکوپی آن را محاسبه کنیم. مجموعه را برای این سیستم مطابق شکل 1-3 چنین میسازیم. تعداد زیادی از سیستمها را کنار هم میگذاریم (مثلاً A تا) و کل مجموعه را در داخل یک حمام گرمایی و در دمای T قرار میدهیم تا تعادل برقرار گردد و در نهایت مجموعه را از حمام خارج میکنیم و آن را منزوی میسازیم. بدین ترتیب برای سیستم مورد نظر یک مجموعهی کانونیکال ساختهایم. در مورد این مجموعه به نکات زیر توجه کنید:
الف) سیستمها در مجموعه از لحاظ ماکروسکوپی معادلاند، در حالی که از نظر میکروسکوپی ضرورتاً چنین نیست.
ب) از جدارههایی که سیستمها را در مجموعه از هم جدا میکند مولکولی منتقل نمیشود، لیکن عبور انرژی مجاز است.
ج) کل مجموعه یک سیستم منزوی بزرگ است.
فرض کنید از حل معادلهی شروینگر برای سیستمی با مشخصات N، V و T ترازهای انرژی به دست آید. شمارههای ترازها را با 1، 2 و … و انرژی آنها را با نمایش میدهیم به طوری که باشد.
با استفاده از این اصل میتوانیم کسری از سیستمهای مجموعه که در تراز jام هستند را محاسبه کنیم. برای این کار لازم است تمام توزیعهای قابل قبول را در نظر بگیریم و تعداد سیستمهای واقع در تراز jام را با هم جمع کنیم و سپس نتیجه را به تعداد کل توزیعها تقسیک کنیم تا متوسط تعداد سیستمها در تراز jام، به دست آید. نسبت کسری از سیستمها است که به طور متوسط در تراز jام قرار دارد. تعداد توزیعهایی که سیستم در تراز jام دارد، بر مبنای معادله (1-20)، از این قرار است:
با یافتن دیگر به مجموعه کاری نداریم. بنابراین ابتدا از سیستم مجموعه ساختیم تا بتوانیم را محاسبه کنیم و بعد با استدلال نشان دادیم که این کمیت با برابر است. به عبارت دیگر مجموعه تنها یک مقولهی ذهنی است و صرفاً یک فن ریاضی را برای به دست آوردن احتمال فراهم میسازد.
مطالعه منابع آزمون دکتری را از چه زمانی شروع کنیم؟
نوشتههای تازه
آخرین دیدگاه ها