سرفصل های درس ریاضیات مهندسی

نام بسته : ریاضیات مهندسی

—————————–

فهرست مطالب

فصل اول:

مروری بر معادلات دیفرانسیل معمولی

تئوری معادلات خطی همگن

معادلات دیفرانسیل غیرخطی از مرتبه اول

معادلات دیفرانسیل غیرخطی از مرتبه بالاتر

فصل دوم : حساب دیفرانسیل برداری

میدان‌‌های اسکالر و میدان‌های برداری

حساب‌برداری

منحنی‌ها

مماس، طول قوس یک منحنی

انحناء و تاب یک منحنی (دلخواه)

توابع چند متغیره: قاعده زنجیره‌ای، قضیه مقدار میانگین

مشتق جهتی، گرادیان یک میدان اسکالر

دیورژانس یک میدان برداری

کرل‌ یک میدان برداری

Grad , Div , Curl در مختصات منحنی الخط (اختیاری)

فصل سوم : انتگرال‌های خط و سطح. قضایای انتگرال

انتگرال‌های خط

انتگرال‌های مضاعف

سطوح برای انتگرال‌های سطح

انتگرال‌های سطح

انتگرال‌های سه‌گانه. قضیه دیورژانس گاوس

کاربردهای دیگر قضیه دیورژانس

قضیه استوکس

انتگرال‌های خط مستقل از مسیر

فصل چهارم : سری‌های فوریه، انتگرال‌های فوریه، تبدیلات فوریه

توابع متناوب، سری‌های مثلثاتی

سری‌های فوریه

توابع با دوره تناوب دلخواه

توابع زوج و فرد

بسط‌های نیم‌بردی

محاسبه ضرایب فوریه بدون انتگرال‌گیری (روش جهش‌ها)

نوسانات واداشته

انتگرال فوریه

تبدیل کسینوسی فوریه، تبدیل سینوسی فوریه

تبدیل فوریه

خلاصه فصل چهارم

فصل پنجم: معادلات دیفرانسیل جزئی

مفاهیم اساسی

مدل‌سازی تار مرتعش، معادله موج یک بعدی

روش متغیرهای جدایی‌پذیر (روش حاصل‌ضرب)

جواب دالامبر معادله موج

شارش گرما

شارش گرما در یک میله‌ی نامتناهی

مدل‌سازی غشاء مرتعش. معادله موج دو بعدی

غشاء مستطیلی

لاپلاسین در مختصات قطبی

غشاء مستدیر معادله بسل

معادله لاپلاس، پتانسیل

معادله لاپلاس در مختصات کروی. معادله لژاندر

تبدیل لاپلاس اعمال شده بر معادلات دیفرانسیل جزئی

تبدیلات فوریه اعمال شده بر معادلات دیفرانسیل جزئی

فصل ششم : اعداد مختلط. توابع تحلیلی مختلط

اعداد مختلط

شکل قطبی اعداد مختلط. توان‌ها و ریشه‌ها

منحنی‌ها و ناحیه‌ها در صفحه مختلط

حد، مشتق، تابع تحلیلی

معادلات‌کشی- ریمان

تابع نمایی

توابع مثلثاتی، توابع هذلولوی

لگاریتم، توان کلی

نگاشت به وسیله توابع خاص

خلاصه فصل ششم

فصل هفتم : انتگرال‌گیری مختلط

انتگرال خط در صفحه مختلط

دو روش انتگرال‌گیری. چند مثال

قضیه انتگرال‌کشی

فرمول انتگرال‌کشی

مشتقات توابع تحلیلی

فصل هشتم : سری‌های توانی، سریهای تیلور، سریهای لوران

دنباله‌ها و سری‌ها

آزمون‌های همگرایی برای سری‌ها

سری‌های توانی

توابع داده شده با سری‌های توانی

سری‌های تیلور

سری تیلور توابع مقدماتی

روش‌های عملی برای به دست آوردن سری توانی

همگرایی یکنواخت

سری‌های لوران

انفرادها و صفرها بی‌نهایت

خلاصه فصل هشتم

فصل نهم : روش انتگرال‌گیری مانده‌ای

مانده‌ها

قضیه مانده

محاسبه انتگرال‌های حقیقی

انواع دیگری از انتگرال‌های حقیقی

خلاصه فصل نهم

فصل دهم : نگاشت همدیس

نگاشت همدیس

تبدیلات کسری خطی

تبدیلات کسری خطی خاص

نگاشت به وسیله توابع دیگر

سطوح ریمان

خلاصه فصل دهم

فصل یازدهم: آنالیز مختلط به کار رفته در نظریه پتانسیل

میدان‌های الکترواستاتیک

استفاده از نگاشت همدیس

مسائل گرما

شارش سیال

فرمول انتگرال پواسون

خواص کلی تابع‌های توافقی

فصل دوازدهم: معادلات با مشتق‌های جزئی و مروری بر جبر خطی

مفاهیم اولیه

معادلات با مشتقات جزئی خطی و نیمه خطی از مرتبه دوم

معادلات با مشتقات جزئی از مرتبه دوم غیرهمگن

مروری بر جبر خطی

فصل سیزدهم : سیستم محورهای مختصات

محورهای مختصات کارتزین

محورهای مختصات منحنی‌الخط

سیستم‌های منحنی‌الخط عمود بر هم

مشتق بردارهای یکّه

دیورژانس یک بردار

کرل (curl) یک بردار

ضرب داخلی مضاعف (Double-dotproduct)

فصل چهاردهم : توابع خاص  و چندجمله‌ای‌های متعامد

تعاریف

قضیه بهترین تقریب فوریه

توابع مولد

فرمول رادریک

مسائل استرم ـ لوئیول

توابع خاص

توابع بسل کروی

فصل پانزدهم: معادلات انتگرالی

تبدیلات معادلات دیفرانسیل معمولی به معادلات انتگرالی

هسته‌های انتگرالی قابل تجزیه

معادلات انتگرالی از نوع اول

معادلات انتگرالی از نوع دوم

روش فردهولم

معادلات انتگرالی همگن از نوع دوم با هسته متقارن

فصل شانزدهم: ریاضی متغیرها

کمینه و بیشینه توابع

روش رایلی ـ ریتز

مسائل پایدار دو بعدی

تبدیل لاپلاس

روش پرتوربیشن

معادلات جبری

پرتوربیشن منفرد

برای مشاوره اینجا بزنید