سرفصل های درس ریاضی مهندسی

نام بسته درسی:ریاضیات مهندسی

——————————————————————————

فهرست:

فصل اول: مروری بر معادلات دیفرانسیل معمولی

تئوری معادلات خطی همگن

معادلات دیفرانسیل غیرخطی از مرتبه اول

معادلات دیفرانسیل غیرخطی از مرتبه بالاتر

فصل دوم : حساب دیفرانسیل برداری

میدان‌‌های اسکالر و میدان‌های برداری

حساب‌برداری

منحنی‌ها

مماس، طول قوس یک منحنی

انحناء و تاب یک منحنی (دلخواه)

توابع چند متغیره: قاعده زنجیره‌ای، قضیه مقدار میانگین

مشتق جهتی، گرادیان یک میدان اسکالر

دیورژانس یک میدان برداری

کرل‌ یک میدان برداری

Grad , Div , Curl در مختصات منحنی الخط (اختیاری)

فصل سوم : انتگرال‌های خط و سطح. قضایای انتگرال

انتگرال‌های خط

انتگرال‌های مضاعف

سطوح برای انتگرال‌های سطح

انتگرال‌های سطح

انتگرال‌های سه‌گانه. قضیه دیورژانس گاوس

کاربردهای دیگر قضیه دیورژانس

قضیه استوکس

انتگرال‌های خط مستقل از مسیر

فصل چهارم : سری‌های فوریه، انتگرال‌های فوریه، تبدیلات فوریه

توابع متناوب، سری‌های مثلثاتی

سری‌های فوریه

توابع با دوره تناوب دلخواه

توابع زوج و فرد

بسط‌های نیم‌بردی

محاسبه ضرایب فوریه بدون انتگرال‌گیری (روش جهش‌ها)

نوسانات واداشته

انتگرال فوریه

تبدیل کسینوسی فوریه، تبدیل سینوسی فوریه

تبدیل فوریه

خلاصه فصل چهارم

فصل پنجم: معادلات دیفرانسیل جزئی

مفاهیم اساسی

مدل‌سازی تار مرتعش، معادله موج یک بعدی

روش متغیرهای جدایی‌پذیر (روش حاصل‌ضرب)

جواب دالامبر معادله موج

شارش گرما

شارش گرما در یک میله‌ی نامتناهی

مدل‌سازی غشاء مرتعش. معادله موج دو بعدی

غشاء مستطیلی

لاپلاسین در مختصات قطبی

غشاء مستدیر معادله بسل

معادله لاپلاس، پتانسیل

معادله لاپلاس در مختصات کروی. معادله لژاندر

تبدیل لاپلاس اعمال شده بر معادلات دیفرانسیل جزئی

تبدیلات فوریه اعمال شده بر معادلات دیفرانسیل جزئی

فصل ششم : اعداد مختلط. توابع تحلیلی مختلط

اعداد مختلط

شکل قطبی اعداد مختلط. توان‌ها و ریشه‌ها

منحنی‌ها و ناحیه‌ها در صفحه مختلط

حد، مشتق، تابع تحلیلی

معادلات‌کشی- ریمان

تابع نمایی

توابع مثلثاتی، توابع هذلولوی

لگاریتم، توان کلی

نگاشت به وسیله توابع خاص

خلاصه فصل ششم

فصل هفتم : انتگرال‌گیری مختلط

انتگرال خط در صفحه مختلط

دو روش انتگرال‌گیری. چند مثال

قضیه انتگرال‌کشی

فرمول انتگرال‌کشی

مشتقات توابع تحلیلی

فصل هشتم : سری‌های توانی، سریهای تیلور، سریهای لوران

دنباله‌ها و سری‌ها

آزمون‌های همگرایی برای سری‌ها

سری‌های توانی

توابع داده شده با سری‌های توانی

سری‌های تیلور

سری تیلور توابع مقدماتی

روش‌های عملی برای به دست آوردن سری توانی

همگرایی یکنواخت

سری‌های لوران

انفرادها و صفرها بی‌نهایت

خلاصه فصل هشتم

فصل نهم : روش انتگرال‌گیری مانده‌ای

مانده‌ها

قضیه مانده

محاسبه انتگرال‌های حقیقی

انواع دیگری از انتگرال‌های حقیقی

خلاصه فصل نهم

فصل دهم : نگاشت همدیس

نگاشت همدیس

تبدیلات کسری خطی

تبدیلات کسری خطی خاص

نگاشت به وسیله توابع دیگر

سطوح ریمان

خلاصه فصل دهم

فصل یازدهم: آنالیز مختلط به کار رفته در نظریه پتانسیل

میدان‌های الکترواستاتیک

استفاده از نگاشت همدیس

مسائل گرما

شارش سیال

فرمول انتگرال پواسون

خواص کلی تابع‌های توافقی

فصل دوازدهم: معادلات با مشتق‌های جزئی و مروری بر جبر خطی

مفاهیم اولیه

معادلات با مشتقات جزئی خطی و نیمه خطی از مرتبه دوم

معادلات با مشتقات جزئی از مرتبه دوم غیرهمگن

مروری بر جبر خطی

فصل سیزدهم : سیستم محورهای مختصات

محورهای مختصات کارتزین

محورهای مختصات منحنی‌الخط

سیستم‌های منحنی‌الخط عمود بر هم

مشتق بردارهای یکّه

دیورژانس یک بردار

کرل (curl) یک بردار

ضرب داخلی مضاعف (Double-dotproduct)

فصل چهاردهم : توابع خاص  و چندجمله‌ای‌های متعامد

تعاریف

قضیه بهترین تقریب فوریه

توابع مولد

فرمول رادریک

مسائل استرم ـ لوئیول

توابع خاص

توابع بسل کروی

فصل پانزدهم: معادلات انتگرالی

تبدیلات معادلات دیفرانسیل معمولی به معادلات انتگرالی

هسته‌های انتگرالی قابل تجزیه

معادلات انتگرالی از نوع اول

معادلات انتگرالی از نوع دوم

روش فردهولم

معادلات انتگرالی همگن از نوع دوم با هسته متقارن

فصل شانزدهم: ریاضی متغیرها

کمینه و بیشینه توابع

روش رایلی ـ ریتز

مسائل پایدار دو بعدی

تبدیل لاپلاس

روش پرتوربیشن

معادلات جبری

پرتوربیشن منفرد

منابع

بخشی از بسته ها :

معادلات دیفرانسیل معمولی

یک معادله دیفرانسیل از مرتبه n دارای شکل ذیل است:

که در آن می‌باشد. اگر F یک تابع خطی از y و مشتقات آن باشد، سپس معادله (1-1) یک معادله دیفرانسیل خطی است. اگر معادله (1-1) خطی باشد سپس حل عمومی y (x) بستگی به n پارامتر مستقل به نام ثابت‌های انتگرال دارد.

تمام حل‌های یک معادله دیفرانسیل خطی را می‌توان با انتخاب مناسب این ثابت‌ها به دست آورد. اگر (1-1) یک معادلة دیفرانسیل غیرخطی باشد باز هم دارای یک حل عمومی شامل n ثابت انتگرال است.

مثال (1) معادلات تفکیک‌پذیر: معادلات تفکیک‌پذیر ساده‌ترین معادلات دیفرانسیل می‌باشند. معادله‌ای تفکیک‌پذیر است که از مرتبه اول بوده و بتوان از وابستگی F به x وy در (1-1) فاکتور گرفت. کلی‌ترین شکل یک معادله تفکیک‌پذیر به صورت ذیل است:

انتگرال‌گیری مستقیم، حل عمومی ذیل را به دست می‌دهد:

که در آن ثابت انتگرال است.

مثال (2) حل یک معادلة خطی: حل عمومی معادلة خطی همگن

برابر با است که وابستگی صریح آن به دو ثابت انتگرال و را نشان می‌دهد.

مثال (3) حل معادلات غیرخطی: دو معادله دیفرانسیل غیرخطی که حل متعارف دارند عبارتند از: معادله ریکاتی

تئوری معادلات خطی همگن

استقلال خطی حل‌ها

حل عمومی یک معادله خطی همگن از مرتبه n مثل

را دارد که در آن ثابت‌های اختیاری انتگرال بوده و یک مجموعه از توابع مستقل خطی است که هر کدام (9-1) را ارضاء می‌کنند. همیشه دقیقاً n حل مستقل خطی برای معادله (9-1) در هر ناحیه‌ای که ضریب توابع در آن ناحیه پیوسته باشند وجود دارند.

وابستگی خطی: چون برای تمام مقادیر x مقدار است.

بنابراین مجموعه‌ای از توابع وابسته خطی می‌باشند.

استقلال خطی: برای بررسی اینکه حل در معادله  در مثال (2) حل عمومی است، مقدار را حساب می‌کنیم. با توجه به اینکه فقط در 0 = x صفر می‌شود، بنابراین برای تمام مقادیر x مجموعه یک مجموعه مستقل خطی است.

معادلات خطی همگن دارای خاصیت جالب ذیل هستند:

W(x) هر n حل معادله (9-1)، معادله از مرتبه اول ساده ذیل را ارضاء می‌کند:

حل (11-1) به نام فرمول آبل معروف است:

حل معادلات خطی همگن

معادلات با ضرایب ثابت

در معادلات با ضرایب ثابت، ضرایب مستقل از x هستند. حل این معادلات به صورت می‌باشد. با جایگذاری این تابع در معادله دیفرانسیل داریم:

که در آن:

یک چند جمله‌ای از درجه n می‌باشد. حل 0 = Ly مربوط به ریشه‌های متفاوت از عبارتند از:

ولی اگر ریشه‌های تکراری وجود داشته باشند، (13-1) حل کامل نیست. برای به دست آوردن حل‌های باقیمانده، فرض کنید ریشه تکراری از درجه m باشد. سپس

که در آن Q یک چند جمله‌ای از درجه n-m می‌باشد. برای حل به دست می‌آید. برای تولید حل‌های بیشتر، نسبت به r مشتق گرفته و انتخاب می‌کنیم.

این فرآیند m حل

معادلات هم‌بعد

معادلات هم‌بعد (یا اولر) با تبدیل بدون تغییر می‌باشند. ضرایب این معادلات به صورت می‌باشند که در آن مستقل از x هستند. این معادلات را می‌توان با تغییر متغیر ذیل تبدیل به معادلات با ضرایب ثابت نمود:

همچنین معادلات هم‌بعد را می‌توان با جایگزینی مستقیم تابع در معادله دیفرانسیل حل نمود. این جایگذاری را به دست می‌دهد که در آن P(r) یک چندجمله‌ای از درجه n می‌باشد. بنابراین حل‌ها به صورت:

می‌باشند که در آن ریشه‌های متفاوت P(r) یک ریشه تکراری دارد، مجموعه حل کامل با مشتق‌گیری از رابطه نسبت به r و اختیار به دست می‌آید. مجموعه حل کامل به صورت:

است که در آن یک ریشه تکراری P(r) می‌باشد.

معادلات کامل

یک معادله کامل مشتق یک معادله از مرتبه پایین‌تر است:  این معادله را می‌توان با انتگرال‌گیری نسبت به x ساده‌تر کرد: . معادله نتیجه شده، دیگر همگن نیست.

مثال (4) معادله کامل: معادله را می‌توان به صورت

نوشت. بنابراین بوده و به سادگی حل می‌شود:

یک فاکتور انتگرال تابعی از x و y است که وقتی در یک معادله دیفرانسیل ضرب می‌شود آن را کامل می‌سازد.

تبدیل به معادله‌ای شناخته شده

بعضی اوقات می‌توان با تبدیل یک معادله دیفرانسیل به معادله‌ای کلاسیک آن را حل کرد. بعضی از معادلات تجزیه و تحلیل شده 

که معادله ایری می‌باشد. معادله وبر ـ هرمیت عبارت است از:

و معادله بسل عبارت است از:

خواص حل‌های این معادلات و دیگر معادلات دیفرانسیل کلاسیک در کتب معادلات دیفرانسیل وجود دارند.

معادلات خطی غیرهمگن

معادله از مرتبه اول غیرهمگن: معادله نسبت به y خطی نیست ولی نسبت به x خطی می‌باشد. برای نشان دادن این موضوع متغیر وابسته y را با متغیر مستقل x تعویض می‌کنیم، داریم:

یک فاکتور انتگرال برای این معادله است. با ضرب توسط I(y) داریم:

و یا

حالت کلی این روش در مورد معادلات با مشتقات جزئی به تبدیل هودوگراف معروف است.

توابع گرین

روش دیگری برای به دست آوردن حل عمومی یک معادله دیفرانسیل خطی غیرهمگن وجود دارد که معادل روش تغییر پارامترها می‌باشد. این روش، حل را بر حسب انتگرالی از تابع گرین به دست می‌دهد. برای تعریف تابع گرین لازم است تابع دلتا (Dirac delta function) معرفی شود. این تابع را می‌توان به صورت ایده‌آل ریاضی به عنوان یک تابع ضربه‌ای واحد در نظر گرفت. این تابع بی‌نهایت نازک است و مرکز آن در x = a قرار داشته و مساحت آن واحد می‌باشد. تابع دو خاصیت ذیل را دارد:

با استفاده از این دو خاصیت و با فرض پیوسته بدون f(x) در a نتیجه مهم ذیل را داریم:

طرف مختلفی برای ارائه تابع وجود دارند. این تابع را می‌توان به عنوان حد مجموعه‌ای از توابع بیان کرد:

در روابط بالا بدین معنی است که فقط با مقادیر مثبت به صفر میل می‌کند. به سادگی می‌توان نشان داد که فرمول (24-1) رابطه (22-1) را ارضاء می‌کند.

همچنین  را می‌توان به عنوان مشتق یک تابع ناپیوسته در نظر گرفت. اگر h(x-a) یک تابع پله‌ای (Heaviside) با تعریف ذیل باشد:

سپس خواهیم داشت:

توجه کنید که روابط ذیل را با استفاده از تعاریف بالا می‌توان نوشت:

اینک تابع گرین را تعریف می‌کنیم. تابع گرین G(x,a) مربوط به معادله غیرهمگن Ly = f(x) معادله دیفرانسیل ذیل را ارضاء می‌کند:

با دانستن می‌توان به سادگی حل Ly = f(x) را به صورت انتگرال ذیل نوشت:

برای اثبات اینکه y(x) در (13-5-1) حل Ly = f است، می‌توان از تابع زیر انتگرال مشتق گرفت:

روش ضرایب نامعین

مثال) روش ضرایب نامعین:

الف) برای حل یک حل خصوصی به صورت حدس زده و ضرایب نامعین a و b را با جایگذاری در معادله دیفرانسیل تعیین می‌کنیم. نتیجه و می‌باشد.

ب) برای حل یک حل خصوصی به صورت حدس می‌زنیم زیرا معادله همگن را حل می‌کند. نتیجه است.

ج) برای حل یک حل چند جمله‌ای خصوصی به شکل حدس می‌زنیم و نتیجه و به دست می‌آوریم.

د) برای حل یا حل خصوصی به صورت y = a یا حدس زده و نتیجه یا را به دست می‌آوریم.

معادلات دیفرانسیل غیرخطی از مرتبه اول

معادلات برنولی

مثال (5) معادله برنولی: معادله دیفرانسیل بر حسب y یک معادله برنولی نیست. ولی با تعویض متغیر وابسته و مستقل داریم:

که بر حسب x یک معادله برنولی می‌باشد (). حل این معادله می‌شود

معادلات ریکاتی

معادلات ریکاتی به صورت ذیل می‌باشند:

دو مورد ابتدایی وجود دارند: وقتی 0 = a(x) باشد این معادله خطی است و وقتی باشد این معادله یک معادله برنولی می‌باشد. متأسفانه به غیر از این دو مورد بخصوص، روش حل عمومی برای این معادلات وجود ندارد. جای تعجب نیست زیرا جایگذاری

معادله ریکاتی را به یک معادله خطی از مرتبه دوم بر حسب w(x) تبدیل می‌کند:

این تبدیل به صورت بر عکس نیز صادق است. بنابراین برای هر معادله خطی همگن از مرتبه دوم یک معادله ریکاتی وجود دارد که واضح است که راه‌حل عمومی نداشته باشد. ولی خیلی از معادلات ریکاتی قابل حل می‌باشند. برای این معادلات روش این است که یک حل حدسی به دست آورده و سپس با استفاده از این حل، معادله ریکاتی را به یک معادله برنولی تبدیل می‌کنیم. به طور ویژه یک حل عمومی به صورت ذیل را جستجو می‌کنیم:

معادله برنولی منتجه برای u(x) می‌شود:

این معادله قابل حل می‌باشد.

معادلات کامل

معادلات کامل از مرتبه اول را می‌توان به صورت ذیل نوشت:

حل این معادله عبارت از: می‌باشد. شرط لازم و کافی برای کامل بودن، عبارت است از:

مثال (6) معادله کامل: برای بررسی اینکه معادله کامل است، مقدار و را تشکیل داده و می‌ببینیم که می‌باشد. حل این معادله کامل می‌شود.

معادلات دیفرانسیل غیرخطی از مرتبه بالاتر

معادلات با عدم حضور متغیر مستقل

یک معادله با عدم حضور متغیر مستقل معادله‌ای است که متغیر مستقل در آن به صورت صریح ظاهر نمی‌شود. مثال‌های و و از این نوع هستند. این معادلات تحت تبدیل بدون تغییر باقی می‌مانند.

یک معادله با عدم حضور متغیر مستقل از مرتبه n را همیشه می‌توان با معادله‌ای بدون این خاصیت جایگزین نمود که مرتبه آن (1-n) است. روش

و غیره … متغیر مستقل در معادله دیفرانسیل جدید y می‌باشد. توجه کنید که بالاترین مشتق u نسبت به y در معادله جدید همیشه یکی کمتر از بالاترین مشتق y نسبت به x در معادله اولیه می‌باشد.

معادلات با مقیاس بدون تغییر

معادله دیفرانسیلی با مقیاس بدون تغییر نامیده می‌شود که مقداری برای p وجود داشته باشد که تبدیل مقیاس

معادله دیفرانسیل اولیه را بدون تغییر باقی گذارد.

مثال (7) معادلات با مقیاس بدون تغییر:

الف) معادله تحت تبدیل و معادله‌ای با مقیاس بدون تغییر است.

تشخیص اینکه یک معادله دیفرانسیل از نوع مقیاس بدون تغییر است بزرگترین قدم در جهت حل آن می‌باشد زیرا تمام این نوع معادلات را می‌توان با جایگذاری

تبدیل به معادلات هم‌بعد نسبت به x کرد.

مثال (8) تبدیل معادله با مقیاس بدون تغییر

را تبدیل به معادله هم‌بعد می‌نماید. جایگذاری این معادله را تبدیل به معادله با عدم حضور متغیر مستقل می‌نماید: . معادله از مرتبه اول معادل را می‌توان به سادگی به صورت تحلیلی برای y(x) حل نمود.

که در آن و ثابت‌های انتگرال می‌باشند.

معادلات هم‌بعد نسبت به y

اگر معادله‌ای تحت بدون تغییر باقی بماند به نام هم‌بعد نسبت به y معروف است. در این نوع معادلات تبدیل

همیشه مرتبه معادله را یکی کاهش می‌دهد.

مثال (9): معادله ذیل را حل کنید:

حل) با توجه به اینکه معادله با تبدیل بدون تغییر باقی می‌ماند تغییر تابع ذیل را در نظر می‌گیریم:

بنابراین داریم:

با جایگزینی این مقادیر در معادله دیفرانسیل خواهیم داشت:

که از تقسیم طرفین این معادله بر داریم:

که می‌شود

تبدیل اولر

در معادلات غیرخطی از مرتبه بالاتر از یک می‌توان با استفاده از تبدیل اولر، مرتبه معادله را کاهش داد. معادله را در نظر می‌گیریم. تبدیل اولر به ترتیب ذیل است:

در این روابط v متغیر مستقل جدید و u متغیر وابسته جدید می‌باشند و ثابتی است که باید تعیین شود. با استفاده از این تبدیل داریم:

و

با جایگزینی این مقادیر بر حسب u و v در معادله اصلی مرتبه معادله کاهش یافته و مقدار ثابت به دست می‌آید.

برای مشاوره اینجا بزنید