سرفصل های درس شيمي معدني پيشرفته

نام بسته درسی:شیمی معدنی پیشرفته

——————-

فهرست:

فصل اول : تقارن مولکولی و نظریة گروه                                                                                                           

عناصر تقارن و اعمال تقارنی                                                                                                                          

خواص جدول ضرب گروه‌های نقطه‌ای                                                                                                               

تعاریف و قضایای نظریة گروه                                                                                                                         

طبقه‌بندی مولکول‌ها به گروه‌های نقطه ای                                                                                                         

گروه‌های نقطه‌ای دو وجهی                                                                                                                           

کاربرد نظریة گروه در طیف بینی ارتعاشی                                                                                                         

قواعد انتخاب برای انتقالات ارتعاشی اصلی                                                                                                       

قاعدة انتخاب برای طیف زیر قرمز                                                                                                                 

ثابت نیرو                                                                                                                                                

فصل دوم :

ساختار الکترونی و طیف جذبی کمپلکس‌های عناصر دستة                                                                                         

بررسی شیمی عناصر d3 به کمک مطالعة آرایش الکترونی                                                                                    

بررسی حالت‌های اکسایش عناصر واسطه به کمک EMF                               

بررسی طیف الکترونی کمپلکس‌های عناصر دستة                                                                                         

بررسی نمودار همبستگی برای آرایش‌های                                                                              

بررسی طیف الکترونی آرایش‌های (O_h)²d و (O_h)⁸                                                                                                 

بررسی طیف الکترونی یون‌های ²d و ⁸d در میدان چهاروجهی                                                                               

طیف الکترونی یون‌های ⁷d و ³d                                                                                                                    

فصل سوم :

بررسی اعداد کوئوردیناسیون و ساختار کمپلکس‌های عناصر واسطه                                                        

ایزومری در ترکیبات مسطح مربعی و چهاروجهی                                                                                               

واپیچش از تقارن هشت وجهی منظم                                                                                                              

آرایش منشور سه گوشه‌ای                                                                                                                          

فعالیت نوری                                                                                                                                            

تبدیل انانتیومرهای یک ترکیب به یکدیگر                                                                                                       

فصل چهارم : سینتیک و مکانیسم واکنش‌های شیمیایی                                                                                      

تعیین مسیر واکنش‌ها                                                                                                                                

تعیین رابطة عمومی سرعت برای یک واکنش تعادلی                                                                                           

واکنش‌های انتقال الکترون                                                                                                                          

تشکیل کمپلکس اولیه                                                                                                                               

معرفی واکنش‌های استخلافی                                                                                                                        

واکنش‌های آبکافت در شرایط اسیدی                                                                                                             

آبکافت به وسیلة کاتالیزور بازی                                                                                                                    

سنتز و بررسی خواص شیمیایی بعضی از ترکیبات کبالت                                                                                                                                                                                                                                             

بخشی از بسته درسی شیمی معدنی پیشرفته :

عناصر تقارن و اعمال تقارنی

در تقارن از دو مفهوم مختلف به نام عنصر تقارن و اعمال تقارنی که به نحو جدایی‌ناپذیری به یکدیگر مربوط هستند، استفاده زیادی می‌شود. عنصر تقارنی، (مانند: مرکز تقارن، محور تقارن و صفحة تقارن)، یک واقعیت هندسی است، در صورتی که عمل تقارن، به کاری گفته می‌شود که روی عنصر تقارنی انجام می‌گیرد.

محور چرخش ساده یا متعارف

عمل تقارنی این عنصر، یک حرکت چرخشی است که سیستم را بعد از انجام یک دور کامل (°360) به حالت اولیه خود برمی‌گرداند. علامت محور چرخشی متعارف، C_n (حرف C، از لغت cyclic یعنی حلقوی گرفته شده است) می‌باشد که  اندیس n نشان‌دهندة مرتبه یا درجة محور است. منظور از مرتبه، بالاترین مقدار n است، هنگامی که چرخش به اندازة  به آرایشی شبیه به آرایش نخست می‌انجامد.

صفحة انعکاس یا صفحة تقارن

عنصر تقارن عمل انعکاس در یک صفحه را صفحة تقارن می‌گویند. صفحة تقارن و عمل انعکاس نسبت به آن را با علامت (s) نشان می‌دهند. صفحه‌های انعکاسی را به سه دسته  تقسیم می‌کنند:

1ـ صفحة انعکاس افقی که آن را با علامت  (زیروند h از لغت horizontal یعنی افقی گرفته شده است) نشان می‌دهند، صفحه‌ای است که محور چرخشی مولکول با بالاترین مرتبه بر آن عمود باشد.

2ـ صفحة انعکاس قائم که ‌آن را با علامت  (زیروند v از لغت vertical یعنی قائم گرفته شده است) نشان می‌دهند، به صفحه‌ای گفته می‌شود که محور چرخشی با بالاترین مرتبه را در برداشته باشد.

مثلاً، برای مولکول آب، این صفحه محور ₂C را در برداشته در صورتی که برای آنیون  این صفحه محور ₄C را در بردارد. در این آنیون، دو صفحة عمودی  وجود  دارد. هر کدام از این صفحه‌ها یکی از قطرهای مربع را در بردارد. در مولکول‌هایی که دارای بیش از یک صفحه عمودی هستند، برای شناسایی صفحه‌ها از یکدیگر آنها را به صورت ،  و  و … نشان می‌دهند و یا برای این منظور از محورهای دکارتی (x,y,z) استفاده می‌کنند. چون هر صفحه دو محور را در بردارد، از این‌رو صفحه را به نام این دو محور نامگذاری می‌کنند. اگر صفحة عمودی دو محور x و z را در برداشته باشد، آن را به صورت ، نشان  می‌دهند.

3ـ صفحة تقارن دو وجهی که آن را با  علامت  (زیروند d از لغت dihedral یعنی دو وجهی گرفته شده است) نشان می‌دهند، صفحه‌ای است که محور چرخشی با بزرگترین مرتبه را در بردارد و زاویة بین دو صفحة  را نیز نصف می‌کند.

مرکز تقارن یا مرکز وارونگی

مولکول‌هایی دارای مرکز تقارن هستند که به ازای هر اتم (A) در امتداد خط مستقیمی که از مبدأ مختصات ]مرکز تقارن که در نقطة M، به مختصات  قرار دارد[ عبور می‌کند، اتم مشابهی (B) در جهت مخالف مختصات اتم اول در مولکول وجود داشته باشد، به طوری که فاصلة این دو اتم از یکدیگر نسبت به مرکز تقارن یکسان باشد. یعنی: AM = MB است. در اثر عمل انعکاس نسبت به نقطة (ii ، علامت عنصر و عمل تقارن وارونگی است که از لغت inversion  یعنی وارونگی گرفته شده است) اتم A به B و یا به طور کلی مختصات هر یک از اتم‌های مولکول از (x,y,z) به (-x,-y,-z) تبدیل می‌شود.

محور نامتعارف (محور چرخش ـ انعکاس) و چرخش نامتعارف

چرخش‌های نامتعارف را می‌تونا به صورت یک عمل دومرحله‌ای در نظر گرفت. نخست یک چرخش متعارف و سپس انعکاس نسبت به صفحه‌ای که بر این محور عمود می‌باشد. محور چرخشی را در اینجا محور نامتعارف می‌گویند، که  علامت آن S­_n است. زاویة چرخشی در اینجا برابر  است. چرخشی را که k بار و هر بار به اندازة  پی در پی انجام شود، به وسیلة علامت  مشخص می‌کنند.

ترکیب یا حاصل ضرب اعمال تقارن

نتیجة اجرای متوالی اعمال تقارنی A و B، عمل تقارن منحصر به فردی مانند C است که اجرای آن در یک مرحله برابر با تأثیر اجرای دو عمل فوق می‌باشد. این رابطه به طور خلاصه و به شکلی قراردادی به صورت زیر نشان داده می‌شود:

AB = C

طبق قرارداد، عمل تقارنی که در سمت راست نوشته می‌شود، اول صورت می‌گیرد (عمل تقارن B).

در بعضی موارد ترتیب اعمال تقارنی تأثیری در نتیجة حاصلضرب اعمال تقارن ندارد، یعنی؛ AB = BA است. در این شرایط اعمال تقارن A و B را تعویض‌پذیر می‌گویند. مثلاً، در مولکول آب، ترکیب اعمال تقارن ₂C و ، تعویض‌پذیر هستند، یعنی:

خواص جدول ضرب گروه‌های نقطه‌ای

1ـ نحوة ترکیب اعمال تقارنی در این نوع جدول‌ها به گونه است که ابتدا عمل تقارنی که در سطر بالای جدول (هم ردیف علامت شون فلیز گروه نقطه‌ای) نوشته شده است، در سمت راست و سپس عمل تقارنی که در ستون کناری جدول (زیر علامت شون فیلز) ذکر شده است، در سمت چپ معادلة ترکیب اعمال تقارنی نوشته می‌شود. مثلا،  = (سطر)  (ستون) .

جدول ضرب برای گروه نقطه ای C3v

2ـ سطر اول و اولین ستون در این نوع از جدول‌ها، تکرار اعمال تقارنی گروه نقطه‌ای مربوطه است. زیرا، هر یک از آنها در اثر ترکیب عمل تقارن یکسانی با یکی از اعمال تقارنی گروه مربوطه به دست می‌آید.

 3ـ در هر سطر و یا هر یک از ستون‌ها، یک عمل تقارنی معین فقط یک بار نوشته می‌شود.

 4ـ ترتیب نوشتن اعمال تقارنی در هر سطر با ترتیب نوشتن اعمال تقارنی در سطرهای دیگر جدول تفاوت دارد. همین مطلب در  رابطه با ستون‌های داخل جدول نیز درست است.

اعمال تقارن معکوس

زمانی برای عمل تقارن A یک عمل معکوس وجود دارد که رابطه BA=AB=E برقرار باشد. در اینجا عمل تقارن B که بر روی مولکول مورد نظر انجام می‌شود، درست عکس عمل تقارن A است. پس اگر عمل تقارن A اول و به دنبال آن B صورت گیرد، عمل تقارن B باعث می‌شود که تمام اتم‌های مولکول به حالت نخست خود برگردند. در این شرایط عمل تقارنی B را معکوس A می‌نامند. از نظر ریاضی می‌توان این مطلب را به صورت B=A^-1 نمایش داد. اگر به جای B مقدار مساوی آن یعنی A^-1 را قرار دهیم، خواهیم داشت:

A^-1A=A A^-1 = E

در نتیجه هر عمل تقارن با معکوس خود خاصیت تعویض‌پذیری دارد. در عمل وارون‌سازی نسبت به مرکز تقارن و نیز انعکاس‌ها نسبت به صفحه‌های تقارن، هر عمل تقارن معکوس خود نیز می‌باشد، زیرا، هر عمل تقارن وقتی یک بار انجام شود، بار دوم تقریباً عمل تقارنی حالت نخست را خنثی می‌کند، یعنی  و  است.

تعاریف و قضایای نظریة گروه

تعریف گروه

گروه به مجموعه‌ای از اعمال تقارن که با توجه به قواعد معینی با هم ارتباط دارند، گفته می‌شود. لازمة تشکیل یک گروه از نظر ریاضی آن است که شرایط چهارگانه زیر برای اعضای آن صادق باشد:

1ـ نتیجة حاصلضرب هر عنصر در خودش و یا هر یک از عناصر گروه، عنصری است از آن مجموعه (در اینجا واژة ضرب و یا حاصلضرب الزاماً معانی متداول خود را در جبر و یا حساب معمولی ندارد).

2ـ در هر گروه باید عنصری وجود داشته باشد که با سایر عناصر گروه تعویض‌پذیر باشد و پس از ضرب در هر یک از عناصر گروه، آن را بدون تغییر باقی بگذارد. این عضو را عنصر یکسانی نامیده و آن را با حرف E نشان می‌دهند.

AE = EA = A

3ـ اگرچه در عمل ضرب لازم نیست که عناصر گروه تعویض‌پذیر باشند، ولی این  عناصر مجبورند از قانون شرکت‌پذیری ضرب تبعیت کنند. یعنی:

A (BC) = (AB) C

در صورتی‌که حاصلضرب BC=M و AB=N باشد، خواهیم داشت:

AM=NC

4ـ هر عنصر گروه باید دارای یک عنصر معکوس باشد که آن نیز عضوی از گروه خواهد بود و عنصر X هنگامی معکوس A است که رابطة

AX=E

برقرار باشد (E همان عنصر یکسانی است). بدیهی است که اگر X معکوس A باشد، A نیز معکوس X خواهد بود و عنصر E نیز معکوس خودش می‌باشد. به طوری که:

AX = XA = E

مجموعه‌ای که دارای این چهار خاصیت باشد، به نام گروه نامیده می‌شود. اگر تعداد اعضای یک گروه مشخص باشد، آن گروه را گروه محدود و تعداد اعمال تقارنی آن را مرتبة گروه می‌گویند که با علامت h مشخص می‌شود. اگر تعداد اعضای گروه محدود نباشد، آن گروه را گروه نامتناهی (h =¥)، می‌نامند. به استثنای مولکول‌های خطی، تمام گروه‌هایی که در اینجا بررسی می‌شوند، از نوع گروه‌های محدود هستند . شبکه‌های بلوری و مولکول‌های خطی مانند: HCN و ₂CO، تشکیل گروه‌های نامتناهی را می‌دهند.

زیر گروه‌ها

به گروه‌های کوچکی که در یک گروه بزرگتر جای دارند، زیر گروه‌های آن گروه گفته می‌شود. تمام گروه‌ها به استثنای گروه C₁ (تنها دارای عنصر تقارنی یکسانی است)، دارای حداقل یک زیرگره می‌باشند؛ به طوری که مرتبه آن (g) از مرتبه گروه مربوطه، کوچکتر می‌باشد. مثلا، برای گروه D_2h خواهیم داشت:

D_2h(h=8): C_S (g=2), C₂ (g=2), C_i (g=2), C_2v (g=4) , C_2h (g=4)      h>g

هر کدام از زیر گروه‌های بالا کلیه شرایط لازم برای یک گروه را دارا می‌باشند.

طبقه

هر گروه را می‌توان به زیر گروه‌های متعددی تقسیم نمود. راه دیگری نیز برای تقسیم عناصر یک گروه به مجموعه‌های کوچکتر به نام طبقه وجود دارد که قاعدة تشکیل آن با شرایط لازم برای ساختن یک زیرگروه از گروه مربوطه تفاوت دارد.

گروه‌های نقطه‌ای

یک مولکول می‌تواند دارای عناصر تقارنی مختلفی باشد که هر کدام از آنها می‌تواند در یک و یا چند عمل تقارنی مختلف شرکت نماید. کلیة اعمال تقارن که روی یک مولکول صورت می‌گیرند، یک گروه تشکیل می‌دهند که دارای چهار شرط لازم برای یک گروه ریاضی می‌باشد:

1ـ نتیجة حاصلضرب هر دو عمل تقارن در یک گروه، خود یک عمل تقارن است که این عمل تقارن نیز یک عضو از مجموعه می‌باشد.

2ـ در هر گروه بایستی عنصری مانند E موجود باشد، به طوری که برای هر عنصر دیگر گروه مثلاً، X رابطة EX=XE=X برقرار باشد. هر عمل تقارن که انجام آن مساوی با انجام ندادن آن باشد.

 مثلا: مولکول را به حال خود نگه داشتن یا این‌که مولکول را پس از یک رشته اعمال، به آرایشی کاملاً یکسان با آرایش اولیه برگرداندن، عمل تقارن یکسانی (E) خوانده می‌شود. مانند: .

3ـ قانون شرکت‌پذیری، برای حاصلضربهای اعمال تقارن موجود در یک گروه صادق می‌باشد. این مساله با استفاده از اعمال تقارن مولکول O_­2H روشن می‌شود:

4ـ هخر عنصر گروه باید عنصری معکوس خود داشته باشد، پس برای گروهی که از اعمال تقارن تشکیل شده است، عنصر معکوس به عنصری گفته می‌شود که نتیجة یک عمل تقارنی را دقیقاً خنثی سازد. به عبارت دقیقتر می‌توان گفت: S وقتی معکوس R خواهد بود که:

RS = SR = E

طبقات اعمال تقارن

طبقات هر گروه را می‌توان به کمک اعمال تبدیل تشابه تعیین نمود. به عنوان مثال، مولکول ₃NH را انتخاب، و طرز تعیین طبقاتی که در گروه نقطه‌ای این مولکول وجود  دارند را بررسی خواهیم کرد. عملیات را با عنصر E شروع می‌کنیم. هر عمل تقارن از گروه را که انتخاب کنیم و بخواهیم با E عمل تبدیل تشابه را انجام دهیم، حاصل عمل همان E خواهد شد، پس E به تنهایی تشکیل یک طبقه از مرتبة یک را می‌دهد. همة گروه‌ها دارای چنین طبقه‌ای هستند، زیرا عنصر تقارن یکسانی با هیچ عنصر دیگری مزدوج نیست.

                                                                                                                             EEE = E                                                                                                                          

طبقه‌بندی مولکول‌ها به گروه‌های نقطه ای

گروه‌های نقطه‌ای ₁C، C_s، C_i و ₂C

در حالت ساده‌ای که تنها عمل تقارن، عمل تقارن یکسانی است، با گروهی از مرتبة یک سروکار داریم که در حقیقت عمل تقارن آن را می‌توان یک چرخش °360 حول محور ₁C دانست و به همین دلیل، علامت شون فلیز آن ₁C می‌باشد، مانند مولکول‌هی چهار وجهی از نوع MABCD می‌باشد. مولکول‌هایی که عنر تقارن آنها یک صفحة انعکاس و یا مرکز تقارن باشد؛ به ترتیب به گروه‌های C_s و  C_i تعلق دارند. گروه‌های نقطه‌ای که تا به حال مطالعه شده‌اند (₁C، C_s و C_i) گروه‌هایی هستند که فاقد هر گونه محور چرخشی (ساده یا مرکب) هستند و دارای درجة تقارن پایین می‌باشند. مولکول‌هایی که تنها دارای عناصر تقارن E و ₂C هستند، دارای گروه نقطه‌ای ₂C می‌باشند.

گروه‌های همریخت

طبق تعریف، گروه‌هایی را که دارای تعداد اعمال تقارنی یکسان هستند، گروه‌های همریخت می‌نامند. گروه‌های C_s، C_i و ₂C تنها گروه‌هایی هستند که علاوه بر عمل تقارن یکسانی، یک عمل تقارن دیگر را نیز انجام می‌دهند. یعنی، این گروه‌ها از مرتبة دو (2=h) و با هم همریخت می‌باشند.

گروه‌های حلقوی یا گروه‌های تک محوری، C_n

مولکول‌هایی که علاوه بر عنصر تقارن یکسانی دارای محور C_n نیز می‌باشند، متعلق به گروه C_n، می‌باشند. چون این محور می‌تواند n عمل تقارنی را انجام دهد ، پس

گروه حاصل از مرتبة (h=n)n می‌باشد. اگرچه تعداد کمی از مولکول‌ها، این گروه نقطه‌ای را انتخاب می‌کنند، اما این گروه‌ها از اهمیت بالایی برخوردارند و از نظر ترکیب اعمال تقارنی جزء گروه‌های آبلی می‌باشند

جدول ضرب گروه حلقوی ₄C

گروه‌های C_nv

مولکول‌هایی که عناصر تقارنی آنها از یک محور C_n و n صفحة انعکاس قائم که به فاصلة  از یکدیگر قرار دارند، تشکیل می‌شود، متعلق به گروه نقطه‌ای C_nv می‌باشند. ترکیبات زیادی وجود دارند که گروه نقطه‌ای آنها _v2C، _v3C و یا _v4C می‌باشد، در صورتی‌ که تعداد محدودی از مولکول‌ها دارای گروه‌ نقطه‌ای _v5C و یا _v6C هستند. چون هر صفحة انعکاس یک عمل تقارن انجام می‌دهد و نیز n  عمل تقارن به وسیلة محور C_n صورت می‌گیرد، پس جمعاً در هر گروه نقطه‌ای C_nv، به تعداد n2 عمل تقارن وجود دارد.

گروه‌های C_nh

اگر به جای صفحه ، یک صفحة  به محور C_n اضافه شود، گروه نقطه‌ای حاصل را C_nh می‌گویند. در این گروه مانند گروه نقطه‌ای C_nv تعداد n2 عمل تقارن وجود دارد. نمونه‌هایی که دارای تقارن C_nh می‌باشند،‌ بسیار کمتر از ترکیباتی  هستند که  تقارن آنها C_nv است.

گروه‌های نقطه‌ای دو وجهی

الف) گروه‌های D_n

هرگاه به محور C_n (محور اصلی)، n محور ₂C (به محورهای ₂C در اینجا محورهای دووجهی گفته می‌شود) هر کدام بر محور C_n عمود هستند، اضافه گردد؛ گروه نقطه‌ای D_n حاصل می‌شود. نمونه‌های محدودی از مولکول‌ها به این گروه نقطه‌ای تعلق دارند. کمپلکس‌های  و  هر دو دارای گروه نقطه‌ای ₃D می‌باشند. چون هر محور ₂C یک عمل تقارن انجام می‌دهد و نیز n عمل تقارن به وسیلة محور C_n صورت می‌گیرد، پس جمعاً در هر گروه نقطه‌ای D_n، به تعداد n2 عمل تقارن وجود دارد. به همین دلیل، گروه‌های D_n، C_nv و C_nh، با هم همریخت هستند.

ب) گروه‌های D_nh

در صورتی که به گروه D_n، صفحة افقی  که بر محور C_n (محور اصلی) عمود است، اضافه شود، گروه نقطه‌ای D_nh به دست می‌آید. تعداد زیادی از مولکول‌ها دارای گروه نقطه‌ای D_nh می‌باشند که دو نمونه از آنها در شکل (زیر) نشان داده شده است.

شکل: دو نمونه از مولکول‌هایی که دارای گروه نقطه‌ای  هستند.

در گروه D_nh، با توجه به رابطة ، اگر n عدد فردی باشد، به ازای n محور ₂C عمود بر محور C_n،  وجود دارد.

ج) گروه‌های D_nd

هرگاه به گروه نقطه‌ای D_n، n صفحة تقارن  به گونه‌ای اضافه شود که هر یک از آنها محور اصلی مولکول را در برداشته باشد و به صورت نیمسازی زاویة بین دو محور ₂C مجاور را نصف کند، گروه نقطه‌ای جدید به دست می‌آید که فاقد صفحة  است و آن را با علامت شون فلیز D_nd، مشخص می‌کنند.

در گروه نقطه‌ای D_2d هر مولکول از دو قسمت مساوی تشکیل شده است. به طوری که نیمی از مولکول نسبت به نیم دیگر آن دقیقا به اندازه 90 درجه چرخیده است و یا به عبارتی دیگر دو قسمت مولکول بر یکدیگر عمودند. در این گروه نقطه‌ای، هر مولکول دارای دو صفحة انعکاسی است که یکی از آنها منطبق بر صفحة کاغذ و دومی در محل محور اصلی مولکول (₂C) بر صفحة کاغذ عمود است. در این گروه نقطه‌ای هر یک از محورهای ₂C و  به صورت نیمسازی زاویة بین دو صفحة  مجاور را نصف می‌کند.

گروه‌های S_n

مولکول‌هایی که عنصر تقارن آنها تنها یک محور نامتعارف S_n است، متعلق به گروه نقطه‌ای S_n می‌باشند. در صورتی که n عدد فردی باشد، اعمال تقارن محور S_n، همان‌هایی خواهند بود که در گروه C_nh وجود دارند. مثلاً اعمال تقارنی محور ₃S معادل اعمال تقارنی گروه همریخت خود، یعنی _h3C هستند. به همین دلیل، گروه ₃S به عنوان یک گروه جدید در نظر گرفته نمی‌شود. وقتی گروه S_n وجود دارد که n عدد زوجی باشد؛ مانند: گروه‌های ₄S،  و ₈S. گروه ₂S، یک گروه جدید در نظر گرفته نمی‌شود؛ زیرا عمل تقارن این محور معادل عمل وارون‌سازی است

گروه‌های خطی

مولکول‌های خطی را به دو دسته تقسیم می‌کنند:

1ـ مولکول‌هایی که مرکز تقارن ندارند، مثل HCl و  این نوع مولکول‌ها دارای یک محور  و بی نهایت صفحة عمودی  هستند که هر کدام  محور  را در بر می‌گیرند. این  دسته از مولکول‌ها به گروه نقطه‌ای ، تعلق دارند.

2ـ مولکول‌هایی که مرکز تقارن دارند، مانند: ₂Cl و . این نوع مولکول‌ها علاوه بر محور ، دارای بی‌نهایت محور ₂C که عمود بر محور  هستند، می‌باشند. در این مولکول‌ها علاوه بر محورهای یاد شده، یک صفحة  نیز دیده می‌شود. چنین مولکول‌هایی دارای گروه نقطه‌ای ، می‌باشند.

گروه‌های مکعبی

آرایش‌های هشت وجهی وچهار وجهی، مهمترین گروه‌ها از تقارن مکعبی می‌باشند. هر دو آرایش مذکور را می‌توان مشتقی از عناصر تقارن یک مکعب دانست. با قرار دادن آنها در یک مکعب به خوبی می‌توان آنها را بررسی کرد.

ماتریس‌ها

از آنجا که نمایش گروه‌ها عموماً به کمک ماتریس‌ها انجام پذیرند و بعضی از خصوصیات این نمایش‌ها را می‌توان با استفاده از برخی خواص بردارها به خوبی فرمول‌بندی کرد.

تعریف ماتریس

ماتریس در کلی‌ترین مفهوم، آرایش مستطیل شکلی از اعداد یا علائمی از اعداد است که بر طبق قواعد معینی می‌تواند با آرایش‌های دیگری از این نوع ترکیب شود. یک ماتریس وقتی به طور کامل نوشته شود، به شکلی است که در زیر نشان داده شده است:

ساده کردن ضرب ماتریس‌ها

یک حالت خاص از ضرب ماتریس‌ها وقتی پیش می‌آید که ماتریس‌های مورد نظر در طول قطرهایشان قطعات مربعی شکل از عناصر غیر صفر داشته باشند، مانند ماتریس زیر:

مهمترین ویژگی این ماتریس، حاصل ضرب آن است که در آن، ماتریس دقیقاً به همان شکل ماتریس‌های اولیة طبقه‌بندی شده است. درک این مطلب چندان هم دشوار نیست که چرا همواره چنین نتیجه‌ای حاصل است. علاوه بر این دیده می‌شود که عناصر یک قطعه در ماتریس حاصلضرب، از ضرب کردن عناصر قطعه های مربوط به ماتریس‌های اولیه در یکدیگر به  وجود آمده‌اند. بنابراین هنگام ضرب دو ماتریس که به یک شکل قطعه‌بندی شده‌اند، قطعه‌های مربوط به یکدیگر را می‌تونا کاملاً مستقل از بقیه ماتریس در نظر گرفت و در یکدیگر ضرب کرد.

نمایش گروه‌ها

نمایش گروه‌های مورد نظر را می‌توان به صورت مجموعه‌ای از ماتریس‌هایی تعریف کرد که هر یک از آنها  عمل تقارن منحرص به فردی از گروه را بیان می‌کند. این ماتریس‌ها را می‌توان به همان روشی که اعمال تقارن را ترکیب کردیم، با یکدیگر ترکیب کنیم. بنابراین اگر بتوان دو عمل تقارن را در یک گروه، مثلا ₂C و  طوری ترکیب کرد که حاصل این ترکیب عمل تقارن سومی مانند   باشد، در این صورت می‌توان ماتریس‌های مربوط به ₂C و  را طوری در یکدیگر ضرب کرد که ماتریس حاصل، ماتریس مربوط به  باشد.

ساده‌ترین روش برای به دست آوردن ماتریس، یک عمل تقارن آن است که طبق شکل، به هر اتم سه بردار که در جهت محورهای x,y,z هستند، نسبت دهیم.

برای مشاوره اینجا بزنید