تاریخ بروزرسانی : 1402/09/10
نام بسته درسی : سرفصل های درس مبانی آنالیز عددی
———————————————–
فهرست:
فصل اول-تحلیل خطا
نمایش اعداد
خطای گرد کردن و حساب ممیز شناور
حساب بازهای؛ تخمین گرد کردن آماری
فصل دوم-درونیابی
درونیابی
الگوریتم نویل
روش دورنیابی نیوتن:تفاضلات تقسیم شده
درونیابی مثلثاتی
روش کولی تاکی
Bـ اسپلاینها
محاسبه Bـ اسپلاینها
فصل سوم-مباحثی در انتگرال گیری
فرمول های انتگرال گیری نیوتن کوتس
نمایش خطای پئانو
انتگرال گیری از طریق برونیابی
روش های انتگرال گیری گاوسی
انتگرال تکین
فصل چهارم-دستگاه های معادلات خطی
روش حذفی گاوس تجزیه مثلثی یک ماتریس
الگوریتم گاوس جردن
تجزیه چولسکی
کران های خطا
کمترین مربعات خطی معادلات نرمال
استفاده از متعامد سازی در حل مسائل کمترین مربعات
معکوس کاذب یک ماتریس
فاز1 روش سیمپلکس
فصل پنجم-تعیین صفرها ونقاط مینیمم معادلات با استفاده از روش های تکراری
همگرایی روش نیوتن در حالت چند متغیری
دنباله ی اشتورم
روش بیراستو
تعیین ریشه ها با استفاده از روشهای دورنیابی
روش ایتکن
مینیمم سازی مسائل نامقید
منابع و ماخذ
تعیین دقیق محاسبات، یک هدف متعالی در آنالیز عددی است. هر یک از انواع خطاهای زیر ممکن است این دقت را تجدید کنند:
🔴 خطاهای دادههای ورودی
🔴 خطاهای گرد کردن
🔴 خطاهای تقریبزنی
خطای دادههای ورودی بر کنترل محاسبه تأثیر میگذارد. به عنوان مثال، این خطاها ممکن است ناشی از عدم دقت ذاتی وسایل اندازهگیری فیزیکی باشند. اگر محاسبات با اعدادی انجام شود که با یک نمایش مختوم محدود شده باشد، که معمولاً این کار انجام میشود، خطای گرد کردن به وجود میآید.
معرفی جامع و تخصصی رشته ریاضی کاربردی
به دلیل خطای نوع سوم، بسیاری از روشها، جواب دقیق مسئلهی داده شدهی P را به دست نمیآورند حتی اگر محاسبات بدون گرد کردن انجام شده باشد، بلکه ترجیح میدهند جواب یک مسئلهی سادهتر که تقریبی از مسئلهی P است را محاسبه میکنند. به عنوان مثال، اگر مسئلهی P جمع یک سری نامتناهی، مثلاً سری
باشد، میتواند با مسئلهی سادهتر ، جمع تنها تعداد متناهی از جملات سری، جایگزین شود. نتیجهی خطای تقریب را معمولاً خطای برش مینامند
در هر مرحله از محاسبهی یک مجموعهی عملوند از اعداد، که یا اعداد اصلی ورودی یا حاصل عملیات قبلی میباشند، وجود دارد. هر عمل منفرد، یک عدد را از یک یا چند عنصر از مجموعه عملگرها محاسبه میکند. عدد حاصل یک عدد میانی و یا یک نتیجهی نهایی است. در هر صورت به مجموعه عملوندها مرتبط است، که در نتیجه این مجموعه از تمام ورودیهایی که به صورت عملوند در محاسبات باقیمانده مورد استفاده قرار نمیگیرند، تهی میشود. مجموعه عملوند نهایی، شامل نتایج مطلوب است.
مسئله خوش وضع است اگر هر یک از جمعوندهای a، b و c در مقایسه با a + b + c کوچک باشند.
جدول تعداد سوالات دفترچه آزمون دکتری و مدت زمان پاسخگویی
اگر یک عملوند در مقایسه با دیگری کوچک باشد اما دارای خطای نسبی بزرگی باشد، تا زمانی که عملوند دیگر دارای خطای نسبی کوچکی است، نتیجه x+y همچنان دارای خطای نسبی کوچکی است، که این حالت را تعدیل نتایج مینامند. اما اگر دو عملوند با علامتهای مختلف با هم جمع شوند، حداقل یکی از ضرایب
بزرگتر از 1 است، و حداقل یکی از خطاهای نسبی و بزرگ میشود. اگر این بزرگ شدن شدید است و بنابراین حذف اتفاق میافتد.
پایداری از نظر عددی، که ما آن را به عنوان یک واژهی مطلق به کار میگیریم، مربوط به خطای ذاتی و بیضرر بودن متناظر با خطای گرد کردن یک الگوریتم است. بنابراین یک الگوریتم ممکن است از نظر عددی قابل اعتمادتر از الگوریتم دیگر باشد و هنوز از نظر عددی پایدار نباشد. اگر هر دو الگوریتم از نظر عددی پایدار باشند، الگوریتمی که از نظر عددی قابل اعتمادتر باشد ترجیح داده میشود. تأکید ما روی واژهی «از نظر عددی» به این دلیل است که عبارت «پایداری» بدون این واژه در سایر موضوعات مانند اصطلاحات معادلات دیفرانسیل، مدلهای اقتصادی و تکرارهای چندگامی خطی نیز به کار برده میشود که دارای معانی متفاوتی است.
یک روش کلی برای اثبات پایدار بودن عددی یک الگوریتم، که اصطلاحاً تحلیل پسرو نامیده میشود، توسط ویلکینسون با هدف آزمودن الگوریتم در جبر خطی معرفی شده است. او تلاش کرد نشان دهد که نتیجه ممیز شناور یک الگوریتم برای محاسبهی را میتوان به صورت نوشت، یعنی به صورت حاصل یک روش محاسباتی دقیق بر مبنای آشفتگی داده ورودی . اگر به این اندازه باشد که ، در این صورت الگوریتم را از نظر عددی پایدار میگویند.
چگونه این خطای گرد کردن بر محاسبه coskx تأثیر میگذارد؟
coskx را میتوان برحسب بیان کرد. زیرا خطای از c، با تقریب اول، باعث خطای مطلق در coskx میشود.
نوشتههای تازه
آخرین دیدگاه ها