سرفصل های درس دینامیک جو

نام بسته : دینامیک جو

—————————————————————–

فهرست

ابزارهای ریاضی

1-1 شاره‌ها و دینامیک شاره‌ها

2-1 نگاهی دوباره به روش‌های سودمند ریاضی

3-1 تخمین به کمک تحلیل مقیاس

4-1 اصول جنبش شناختی شاره‌ها

نیروهای بنیادین و نیروهای ظاهری

1-2 نیروهای بنیادین

2-2 نیروهای ظاهری

جرم، تکانه، انرژی: کمیت‌های بنیادین طبیعت

1-3 جرم جو

2-3 پایستگی تکانه: معادلات حرکت

3-3 پایستگی انرژی: معادله‌ی انرژی

کاربرد معادلات حرکت

1-4 فشار در نقش مختصه‌ی عمودی

2-4 دمای بالقوه در نقش مختصه‌ی عمودی

3-4 ترازمندی باد گرمایی

4-4 دستگاه مختصات طبیعی و جریان‌های ترازمند

گردش تاوایی و واگرایی

1-5 قضیه‌ی گردش و تفسیر فیزیکی آن

2-5 تاوایی و تاوایی بالقوه

3-5 رابطه‌ی میان تاوایی و واگرایی

4-5 دستگاه معادلات زمینگردوار

پیش‌یابی حرکات عمودی همدید در عرض میانه

1-6 ماهیت باد زمینگرد- جداسازی بردار شتاب

3-6 معادله‌ی زمینگردوار امگا

4-6 بردار

حرکات عمودی در جبهه‌ها

1- 7 ویژگی‌های ساختاری و دینامیکی جبهه‌های عرض‌های میانه

2-7 جبهه‌زایی و حرکات عمودی

3-7 معادلات نیمه زمینگرد

4-7- جبهه‌زایی در ترازهای بالایی

5-7 فرآیندهای بارش‌زا در جبهه‌ها

بخش هایی از بسته رزسی دینامیک جو

 ابزارهای ریاضی

1-1 شاره‌ها و دینامیک شاره‌ها

تجربیات روزمره‌ی هر یک از ما گواهی می‌دهد که پدیده‌های فیزیکی به صورت‌های مختلفی دیده می‌شوند. اغلب پدیده‌های فیزیکی و همه‌ی پدیده‌هایی که در این کتاب به آن‌ها پرداخته‌ایم جرم دارند. جرم هر پدیده مبین مقدار ماده‌ی سازنده‌ی آن است. جو همچون یک قطعه سنگ جامد نیست اما جرم دارد. جو جزو آن دسته از پدیده‌هایی است که شاره نامیده می‌شوند. به تعبیر عامیلنه شاره به موادی گفته می‌شود که از خود شکلی ندارند و شکل ظرفشان را به خود می‌گیرند.

2-1 نگاهی دوباره به روش‌های سودمند ریاضی

1-2-1 حساب‌برداری

بسیاری از کمیت‌های فیزیکی که در جهان می‌بینیم تنها بر حسب بزرگی بیان می‌شوند. این‌گونه کمیت‌ها را کمیت نرده‌ای می‌نامند. مساحت، حجم، ارتفاع بارش و … نمونه‌هایی از کمیت‌های نرده‌ای هستند. برخی از کمیت‌های فیزیکی، گذشته از بزرگی، جهت هم دارند.

سرعت، نیروی گرانی و شیب زمین از این دست هستند. این گونه کمیت‌ها را کمیت‌های برداری می‌نامند. در بررسی جو با هر دو دسته کمیت یاد شده سر و کار داریم. پس باید با بیان ریاضی این گونه کمیت‌ها آشنا باشیم. این‌گونه مسائل در شاخه‌ای از ریاضی به نام تحلیل برداری بررسی می‌شوند.

در یک دستگاه مختصات دکارتی سه بعدی (x , y , z) محورها دوبه‌دو متعامدند. در این چنین دستگاهی بردار دلخواهی مانند  بر روی سه محور x , y , z دارای سه مؤلفه‌ی  است. این سه مؤلفه ماهیت نرده‌ای دارند چون معرف بزرگی برداری همراستا با محورهای نظیر خود هستند (شکل 1-1). اگر جهت محورهای x , y , z را با بردارهای یکه‌ی  نشان دهیم. آن‌گاه

1-1-1                                                                                              

صورت مؤلفه‌ای بردار  نامیده می‌شود. به همین قیاس صورت مؤلفه‌ای بردار دلخواه دیگری مانند  چنین خواهد بود:

2-1-1                                                                                               

بردارهای  در صورتی برابرند که داشته باشیم:                                                  

بزرگی بردار  به روش زیر به دست می‌آید:

2-1                                                                                                 

چنان‌که شکل 1-1 هم به خوبی نشان می‌دهد رابطه‌ی بالا همان قضیه‌ی فیثاغورث است منتهی در یک فضای سه بعدی.

بردارها را می‌توان با هم جمع یا از هم کم کرد. این کار، هم به روش ترسیمی عملی است و هم به کمک مؤلفه‌های بردار مورد نظر (شکل 2-1). فرض کنید بردارهای  معرف نیروهایی باشند که بر نقطه‌ی O وارد می‌شوند (شکل 1-2-1). کل نیروهای وارد بر O برابر مجموع این دو بردار است. این جمع برداری را می‌توان از راه ترسیمی و به روش متوازی‌الاضلاع یا روش ابتدا- انتها به دست آورد. در روش ابتدا- انتها بردار  را در انتهاب بردار  و در همان راستا ترسیم کرده و ابتدای بردار  را به انتهای این بردار جدید وصل می‌کنیم (2-2-1). در روش متوازی‌الاضلاع به کمک بردارهای  و  یک متوازی‌الاضلاع می‌سازیم. قطر این متوازی‌الاضلاع که از بین دو بردار  و  خارج می‌شود برابر مجموع این دو بردار است (شکل 3-2-1). اگر مؤلفه‌های این دو بردار را داشته باشیم مجموع آن‌ها به روش زیر نیز به دست می‌آید.

1-3-1                                                     

به بیان دیگر تنها با جمع مؤلفه‌های نظیر می‌توان مجموع دو بردار را به دست آورد. روشن است که جمع برداری خاصیت جابه‌جایی  و شرکت‌پذیری  دارد. تفریق برداری، عکس عمل جمع است. برای کم کردن  از  تنها باید  را با  جمع کرد. شکل 3-1  را نشان می‌دهد. روشن است که  و برآیند این تفریق، برداری است که انتهای  را به انتهای  متصل می‌کند . در روش دیگر تنها کافی است مؤلفه‌های نظیر را از هم کم کنیم.

2-3-1                                                     

کمیت‌های برداری را به چند روش می‌توان درهم ضرب کرد. ساده‌ترین روش، ضرب یک کمیت نرده‌ای (F) در یک بردار است یعنی:

4-1                                                                                        

نتیجه‌ی این عمل، برداری است همراستا با بردار اولیه، اما F بار بزرگ‌تر از آن.

دو بردار را می‌توان به دو صورت در هم ضرب کرد. نتیجه‌ی ضرب نقطه‌ای (ضرب نرده‌ای) دو بردار  و  یک کمیت نرده‌ای است و به صورت زیر بیان می‌شود (شکل 4-1)

5-1                                                                                                     

زاویه‌ی میان دو بردار  و  است. روشن است که نتیجه‌ی این عمل یک کمیت نرده‌ای است. به این روش حاصل ضرب نقطه‌ای دو بردار به آسانی به دست می‌آید اما اگر ضرب نقطه‌ای را بر حسب مؤلفه‌ها بنویسیم داریم:

6-1                                                              

و بسط یافته‌ی آن به صورت زیر است:                                                               

چون زاویه‌های هر یک از بردارهای یکه با خودش صفر است از 5-1 می‌دانیم که  و چون بردارهای یکه دوبه‌دو متعامدند حاصل ضرب نقطه‌ای همه‌ی آن‌ها صفر است. در نتیجه از نه جمله‌ی بالا تنها سه جمله باقی می‌ماند.

7-1                                                                                     

با توجه به این نتیجه، روشن است که ضرب نقطه‌ای خاصیت جابه‌جایی  و خاصیت توزیع‌پذیری  دارد.

می‌توان دو بردار را در هم ضرب کرد و بردار دیگری به دست آورد. این نوع ضرب را ضرب چلیپایی (ضرب ‌برداری) می‌نامند و به صورت زیر نمایش می‌دهند:                                                                                                                                

بزرگی بردار حاصله از رابطه‌ی زیر به دست می‌آید

8-1                                                                                                 

که  زاویه‌ی میان دو بردار است. چون نتیجه‌ی ضرب چلیپایی، یک بردار است پس دارای جهت نیز هست. بردار حاصل از ضرب چلیپایی، عمود بر صفحه‌ی مشتمل بر بردارهای  است (شکل 2-4-1) و جهت آن از قاعده‌ی دست راست به دست می‌آید.

اگر انگشتان دست راست خود را از طرف بردار  به طرف بردار  بچرخانید انگشست شست جهت برآیند  خواهد بود. (شکل 2-4-1). چون جهت بردار برآیند ضرب چلیپایی به ترتیب عملوندها بستگی دارد خواص ضرب چلیپایی و ضرب نقطه‌ای یکی نیست.

ضرب چلیپایی خاصیت جابه‌جایی ندارد  ولی خاصیت توزیع‌پذیری  دارد. ضرب چلیپایی را به کمک مؤلفه‌ها و با حل دترمینان زیر هم می‌توان به دست آورد.

1-9-1                                                                                           

برای محاسبه‌ی این دترمینان باید سه دترمینان 2*2 را حل کرد. با حذف سطر و ستونی که مشتمل بر  است داریم:  مقدار این دترمینان ضریب  خواهد بود. برای  نیز مانند  عمل می‌شود. در مورد  چون ستون‌ها ناهمجوارند دترمینان در 1- ضرب می‌شود و داریم:

2-9-1                         

از توابع برداری درست همانند توابع نرده‌ای می‌توان مشتق‌گیری کرد. البته باید قواعد جمع و ضرب برداری را رعایت کنیم. مثلاً قانون دوم نیوتن بیانگر آن است که تکانه‌ی یک جسم تغییری نمی‌کند مگر آن که نیرویی بر آن جسم وارد شود. به بیان ریاضی

10-1                                                                                                              

M جرم جسم و  سرعت آن است. اگر قاعده‌ی زنجیره‌ای را برای مشتق‌گیری از سمت راست معادله‌ی بالا به کار ببریم خواهیم داشت:

11-1                                            

 شتاب جسم است. تبیین جمله‌ی دوم سمت راست همین معادله بود که انشتین را معروف کرد. یک مثال کامل‌تر را در نظر می‌گیریم. یک بردار سرعت مانند  را در نظر بگیرید. در این صورت شتاب به صورت زیر تعریف می‌شود:

12-1                                                           

ممکن است مشتقات بردارهای یکه که در معادله‌ی بالا ظاهر شده‌اند زائد به نظر آیند اما چنان که بعداً خواهیم دید این جملات بسیار با اهمیت هستند. این جملات تنها در صورتی غیر صفر خواهند بود که دستگاه مختصات مرجع اندازه‌گیری حرکت، ساکن نباشد. چون زمین به دور خود می‌چرخد دستگاه مختصات مرجع، ساکن نیست و عملاً ناچاریم شتاب این چارچوب مرجع دوّار را در محاسبات لحاظ کنیم. به همین دلیل همه‌ی جملاتی که در معادله‌ی بالا وارد شده‌اند برای بررسی جو در عرض‌های میانه لازمند.

عملگر دل را بر روی کمیت‌های برداری نیز می‌توان اعمال کرد. ضرب نقطه‌ای  در  به صورت زیر نوشته می‌شود:

14-1                                                                                            

حاصل این عمل یک کمیت نرده‌ای است که واگرایی نامیده می‌شود. واگرایی مثبت به این معناست که در یک میدان برداری، بردارها از یک نقطه دور می‌شوند. واگرایی منفی که همگرایی نامیده می‌شود معرف یک میدان برداری است که در آن جهت بردارها به طرف یک نقطه است. مناطق همگرایی و واگرایی برای تبیین رفتار جو فوق‌العاده اهمیت دارند.

ضرب چلیپایی عملگر  در بردار  عبارت است از:

1-15-1                                                             

چنان که پیش‌تر گفتیم این ضرب را می‌توان از راه محاسبه‌ی دترمینان زیر به دست آورد:

2-15-1                                                                                           

سطر دوم این دترمینان مؤلفه‌های عملگر  و سطر سوم آن مؤلفه‌های بردار  هستند. برداری که بدین طریق به دست می‌آید تاو  نامیده می‌شود. تاو بردار سرعت  را تاوایی می‌نامند. تاوایی نشان دهنده‌ی دوران شاره است. بسیاری از اوقات در بررسی دینامیک جو با معادلات مشتق جزیی مرتبه دو روبه‌رو می‌شویم. برخی از این معادلات بر حسب عملگر لاپلاس نوشته می‌شوند. عملگر لاپلاس بر روی کمیت‌های نرده‌ای عمل می‌کند و واگرایی شیو را به دست می‌دهد.

16-1                                             

بردار دلخواهی مانند  را می‌توان به صورت زیر با عملگر دل ترکیب کرد:                                                                                        

این عملگر را عملگر نرده‌ای ناوردا می‌نامند. این عملگر بر روی کمیت‌های نرده‌ای و برداری عمل می‌کند و از اهمیت زیادی برخوردار است چون مبین فرآیندی به نام وزش است. در مطالعه‌ی شاره‌ها، وزش بسیار مورد توجه است.

2-2-1 بسط سری تیلور

گاهی ساده‌تر آن است که مقدار یک تابع پیوسته مانند f(x) را پیرامون نقطه‌ای مانند  به کمک یک سری توانی به صورت زیر برآورد کنیم:

17-1                                                           

البته انجام این کار مبتنی بر پذیرش یک فرض است. بنابراین باید شرایطی که تحت آن، این فرض صادق است را بشناسیم. این شرایط عبارتنداز: 1) چند جمله‌ای 17-1 از نقاط  می‌گذرد. 2) اولین n مشتق این چند جمله‌ای با اولین n مشتق f(x) در  برابر است. شرط اخیر ایجاب می‌کند که f(x) در  مشتق‌پذیر باشد. برای آن‌که این دو شرط صادق باشند باید برای ضرائب  مقادیر مناسبی اختیار کرد. با جانشانی  در 17-1 درمی‌یابیم که . اگر مشتق مرتبه اول 17-1 را نسبت به x محاسبه کرده و مقدار  را در آن جانشانی کنیم درمی‌یابیم که . محاسبه‌ی مشتق مرتبه‌ی دوم 17-1 نسبت به x و جانشانی  معلوم می‌کند که . اگر به همین ترتیب تا مشتق مرتبه n ادامه دهیم می‌بینیم که                                                                                                                   

بنابراین مقدار تابع f(x) در  به صورت زیر بیان می‌شود:

18-1                                         

حال اگر بخواهیم مقدار تابع f(x) را در نزدیکی  به دست آوریم عبارت 18-1 شکل عمومی‌تری پیدا می‌کند که به نام بسط سری تیلور f(x) در پیرامون  معروف است و به صورت زیر بیان می‌شود:

19-1                     

چون همه‌ی متغیرهای وابسته‌ای که رفتار جو را بیان می‌کنند متغیرهای پیوسته‌ای هستند، استفاده از بسط تیلور برای تخمین مقدار این متغیرها روش دقیقی است و ما هم در تحلیل‌های خود از آن بهره می‌بریم. در اکثر مواردی که از بسط تیلور استفاده می‌کنیم مقدار  آن‌قدر کوچک است که می‌توان به راحتی از جملاتت درجه دو و بالاتر (جملات درجه بالا) که در 19-1 آمده‌اند چشم‌پوشی کرد. در این‌گونه موارد برای تخمین مقدار تابع، تنها به جملات زیر اکتفا می‌کنیم.

برای مشاوره اینجا بزنید